定積分で面積を求めるときの考え方は、これまでとまったく同じです。 上側の曲線と下側の曲線に注目 して、 「上の曲線－下の曲線」の積分 で求めるのでした。 今回の図をよく見てください。 交点の右と左でグラフの上下関係が変わっていますね。 交点の左側では、上がy=g (x)下がy=f (x) 交点の右側では、上がy=f (x)下がy=g (x)です。 この図形は2つに分断して考えましょう。 交点の左側 では、 上がy=g (x)下がy=f (x) で面積のスタートはx=a，終点はx=pです。 面積= ∫ ap {g (x)-f (x)}dx と求めることができますね! 交点の右側 では、 上がy=f (x)下がy=g (x) で面積のスタートはx=p，終点はx=bです。. y = x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) 2 + 3. はグラフを書くと. になりますね。 これは大丈夫なはず。 では例えば. この図にある斜線の部分の面積を求めることはできますか。 できそうにも思えますが二次関数は曲線なので求めたい面積の上の方が曲がっています。 ですから私たちは この面積を正確に求めることは今の時点で不可能 です。 ですが積分を知った私たちにはこれができます。 実はこの面積は. ∫ 1 2 x 2 − 2 x + 4 d x. という 定積分 によって正確に求めることができるのです。 欲しい 面積の両端の x 座標と積分を用いれば この面積を求めることができます。 そしてこの インテグラルに何やら数字がついた積分が「定積分」 です。

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このことから y= f(x) y = f ( x) の方が上にあるなら、求める面積は ∫ b a {f(x)−g(x)}dx ∫ a b { f ( x) − g ( x) } d x になるし、 y= g(x) y = g ( x) の方が上にあるなら、求める面積は ∫ b a {g(x)−f(x)}dx ∫ a b { g ( x) − f ( x) } d x なるんだ。. だからどっちの関数が.. まずは図示して求める面積がどの部分かを確認する. このとき,\ 面積を求めるために必要最小限の情報の図を素早く描くことが重要である. 面積を求める時に必要になるのは関数の上下関係や共有点}であり,\ 頂点や極値は必要ない. 多くの面積の問題は,\ 共有点の座標が綺麗な値になるように作成されているはずである. 本問の場合,\ x軸との共有点のx座標は,\ x^2-4=0よりx=±\,2である. 後は定積分すればよいが,\ 本問は上下関係が入れ変わるところで積分区間を分割する}必要がある. x軸の式はy=0なので,\ 正確には∫ {-1} {2}\ {0- (x^2-4)\}\,dx+∫ {2} {3}\ { (x^2-4)-0\}\,dxである.